【世纪金榜】人教版第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十四)-8.6抛物线名师制作优质教学资料.doc
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4、垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则PMF的面积为()A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,4),所以SPMF=|yP|PM|=45=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】1.(2015石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2
5、=10x【解析】选C.由题意可知p0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|-2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.2.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若PQF是边长为2的正三角形,则p的值是()A.2B.2+C.1D.-1【解析】选A.F,设P,Q(y1y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,又y1y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=+=2,解得p=2.3.(2015淮北模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,
6、且ab,则抛物线y2=-x的焦点坐标为()A.B.C.D.【解析】选C.由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且ab可得解得抛物线的方程为y2=-x,故焦点坐标为.4.(2015吉安模拟)如图,抛物线C1:y2=2px和圆C2:+y2=,其中p0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则的值为()A.p2B.C.D.【解析】选B.设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+-=x1,同理|CD|=x2,又=|AB|CD|,所以=x1x2=.5.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两
7、点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:kAB=1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用
8、结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是0.(2)在椭圆+=1(ab0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=-.(3)在双曲线-=1(a0,b0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p0)中,以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2015孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,
9、A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视
10、条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2013安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得ACB=90,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|MO|,所以a,所以a1或a0,因为由题意知a0,所以a1.答案:1,+)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为,所以m2-a+m4-2am2+a2=
11、0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a0且m2=a-10,故a1,+).答案:1,+)8.如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y2=8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:x-y-10=0上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于.【解题提示】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,抛物线的焦点F(2,0),MP所在的直线方程为y=4,从而可求P(2,4),Q(2,-4),N(6,-4),确定直线MN的方程,可求答案.【解析】由题意可得抛物线的对称轴为x轴,F(2,0),M(x0,4),所以MP所在的
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