20212021学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11.docx
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1、20212021学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11路漫漫其修远兮,吾将上下而求索-12充分条件与必要条件对应学生用书P5充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去设:A:洛孝主动归还所拾银两B:洛孝无赖银之情C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子D:洛孝所拾银子不是失主所丢问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么条件?提
2、示:A,充分条件问题2:县官由C得出什么结论?它是C的什么条件?提示:D,必要条件充分条件和必要条件如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即pq,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.充要条件已知:p:前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q:前年是2012年问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,充分条件问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,必要条件问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?路漫漫其修远兮,吾将上下而求索-提示:充要条件,充要条件充要条件(1)如果既有pq,又有qp,通常记作pq,则称p是q的充分必要条件,简称充要条
3、件(2)p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(4)若pq,但q/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件对应学生用书P6充分条件、必要条件的判断例1(1)p:a,b,c三数成等比数列,q:bac;(2)p:yx4,q:x1
4、,y3;(3)p:ab,q:2a2b;(4)p:ABC是直角三角形,q:ABC为等腰三角形思路点拨 可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否成立,从而判定p,q间的关系精解详析 (1)若a,b,c成等比数列,则b2ac,bac,则p/ q;若bac,当a0,b0时,a,b,c不成等比数列,即q/ p,故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1,y3,即p/ q,而x1,y3可得xy4,即qp,故p 是q的必要不充分条件(3)当ab时,有2a2b,即pq,当2a2b时,可得ab,即qp,故p是q的充要条件(4)法一:若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形,即p/
5、 q;若ABC 2路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 3 为等腰三角形也不能得出ABC 为直角三角形,即q / p ,故p 是q 的既不充分也不必要条件法二:如图所示:p ,q 对应集合间无包含关系,故p 是q 的既不充分也不必要条件 一点通充分必要条件判断的常用方法:(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法:设A x |p (x ),B x |q (x ),若x 具有性质p ,则x A ;若x 具有性质q ,则x B . 若A B ,则p 是q 的充分不必要条件;若B A ,则p 是q 的必要不充分条件;若A B ,则p 是q
6、 的充要条件;若A B 且B A ,则p 是q 的既不充分又不必要条件 1设集合A x |xx 30,集合B x |x 2|1,那么“m A ”是“m B ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解析:集合A x |0x 3,集合B x |1x 3,则由“m A ”得不到“m B ”,反之由“m B ”也得不到“m A ”,故选D.答案:D2对任意实数a ,b ,c 给出下列命题:“a b ”是“ac bc ”的充要条件;“a 5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;“a b ”是“a 2b 2”的充分条件;“a 其中,真命题的序号是_解析:由a b
7、 可得ac bc .但ac bc 时不一定有a b ,故为假命题;由“a 5为无理数”可得“a 为无理数”,由“a 为无理数”可得“a 5为无理数”,为真命题;路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 4 由“a b ”不能得出a 2b 2,如a 1,b 2,为假命题;“由a 答案:3指出下列各组命题中p 是q 的什么条件,q 是p 的什么条件,并说明理由(1)p :|x |y |,q :x y ;(2)在ABC 中,p :sin A 12,q :A 6. 解:(1)因为|x |y |x y 或x y ,但x y |x |y |,所以p 是q 的必要不充分条件,q 是p 的充分不必要条件(2)因为0
8、A 时,sin A (0,1,且A (0,2时,sin A 单调递增,A 2,)时,sin A 单调递减,所以sin A 12A 6,但A 6/ sin A 12. 所以p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件. 充要条件的证明和求解例2 已知数列a n 的前n 项和S n p n q (p 0且p 1),求证:数列a n 为等比数列的充要条件为q 1.思路点拨 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由q 1推证数列a n 为等比数列和由数列a n 满足S n p n q (p 0且p 1)为等比数列推证q 1.精解详析 (充分性)当q 1时,a 1S 1p 1;当n 2时,a
9、n S n S n 1p n 1(p1),且n 1时也成立于是a n 1a n p n p 1p n 1p 1p (p 0且p 1),即a n 为等比数列 (必要性)当n 1时,a 1S 1p q ;当n 2时,a n S n S n 1p n 1(p 1)因为p 0且p 1,所以当n 2时,a n 1a n p n p 1p n 1p 1p ,可知等比数列a n 的公比为p .故a 2a 1p p 1p qp ,即p 1p q ,求得q 1. 综上可知,q 1是数列a n 为等比数列的充要条件一点通充要条件的证明问题,要证明两个方面,一是充分性,二是必要性为此必须要搞清条件,在“A 是B 的
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