《数字滤波器设计》PPT课件.ppt
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1、数字滤波器设计,6.1 引言 6.2 IIR滤波器设计方法,6.1 引 言,所谓滤波,通常是指通过某种变换或运算,用以改变输入信号中所含频率分量的相对比例,以达到选取或滤除某些频率成分的一种手段。 数字滤波器通常采用有限精度算法,它可以按照某种算法编写软件,在计算机或专用数字信号处理(DSP)芯片上实现,也可以按照算法选用硬件实现。与模拟滤波器相比, 数字滤波器具有精度高、稳定性好、灵活性大、 体积小且没有苛刻的匹配要求等优点。 随着计算机、 超大规模集成电路技术的发展,数字滤波器的应用愈加广泛。,同样,与模拟滤波器类似,数字滤波器按频率特性也有低通、高通、带通和带阻等之分,滤波器的性能指标通
2、常也习惯在频域给出。常用数字滤波器的幅度特性示意图如图6.1所示。与模拟滤波器不同的是,由于序列的傅里叶变换具有以2为周期的周期性,因此,数字滤波器的频率响应也有这种周期性。 低通滤波器的通带处于0或2的整数倍频率附近,高通滤波器的通带则处于的奇数倍频率附近。,图6.1 各种数字滤波器的幅度特性,图6.1 各种数字滤波器的幅度特性,图6.1所示的理想滤波器的幅度特性有理想、陡截止的通带和无穷大衰减的阻带两个范围,这显然是无法实现的,因为它们的单位取样响应均是非因果和无限长的。实践中只能用一种因果可实现的滤波器去与之逼近,使其满足给定的误差容限。一个实际滤波器的幅度特性在通带中允许有一定的波动,
3、阻带衰减则应大于给定的衰减要求,且在通带与阻带之间允许有一定宽度的过渡带。,图6.2示出了一个实际低通滤波器的幅度特性, 特性曲线中有通带、过渡带和阻带三个区间。通带范围是0p, 在通带内,幅度特性以误差1逼近于1,即,(6-1),p称为通带截止频率。阻带范围是s,在阻带内, 幅度特性以最大误差2逼近于零,即,称为阻带起始频率。ps的区域称为过渡带, 一般要求幅度特性在过渡带内单调下降。,(6-2),图6.2 实际低通滤波器的幅度特性,通带内衰减(波动)和阻带衰减(波动)通常用分贝表示, 对于图6.2, 我们令,p和s分别称为通带最大衰减和阻带最小衰减。如果, 则称c为3dB截止频率。,滤波器
4、的频率特性除了幅度特性外,还有相位特性()。 一般对()并无过多要求,只要保证滤波器稳定就可以了。 但在有些场合要求()具有一定的性质,如线性相位特性, 即要求()=-(为延时常数)等。 数字滤波器可用N阶差分方程,来描述,相应的系统函数为,(6-6),数字滤波器按其单位采样响应长度可分为无限冲激响应滤波器(IIR)和有限冲激响应滤波器(FIR)两类。按照滤波器的实现方式则又可以分为递归滤波器和非递归滤波器两类。式(6-5)中若ak=0(k=1,N), 该滤波器为FIR滤波器;若ak0(k=1, ,N),该滤波器为IIR滤波器。一般情况下递归滤波器对应于IIR滤波器, 而非递归滤波器对应于FI
5、R滤波器。,6.2 IIR滤波器设计方法,设计IIR数字滤波器一般有以下三种方法: (1) 先设计一个合适的模拟滤波器,然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便, 因为模拟波滤波器已很成熟,它有很多现成的设计公式,并且设计参数已经表格化, 使用起来既方便又准确。,(2) 滤波器系统函数的零点和极点位置完全决定了滤波器的幅度和相位响应。所以,通过合理设置数字滤波器系统函数的零、极点,即可得到符合要求的滤波特性。 这种方法往往需要多次调整零、极点位置,称为零、极点累试法。,(3) 计算机辅助设计法。 这是一种最优化设计方法。 它先确定一种最优化准则, 例如设计出的实际频率响应的幅度与理想
6、频率响应的幅度的均方误差最小准则,或它们的最大误差最小准则等, 然后确定满足该最佳准则的滤波器系数ak、bi。 这种设计一般不易得到滤波器系数的显式表达式, 而是需要进行大量的迭代运算,需用计算机辅助设计完成。,6.2.1 根据模拟滤波器设计IIR数字滤波器 目前IIR数字滤波器设计中用得较多的是借助于模拟滤波器的设计方法。借用模拟滤波器设计有一套相当成熟的方法, 可以给数字滤波器的设计带来很大方便。该方法的设计步骤是: (1) 若所需设计的数字滤波器是低通的,按一定规则先将给出的数字低通滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。 (2) 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器的传递函数
7、Ha(s)。 ,(3) 再按一定规则将Ha(s)转化成H(z),完成低通滤波器的设计。 (4) 若所设计的是高通、带通或带阻滤波器,那么还需将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标转化为低通模拟滤波器的技术指标,然后按步骤(2)设计低通模拟滤波器 Ha(s),再将Ha(s)最终转换为所需的H(z)。,1. 选定模拟低通滤波器原型 由滤波器理论,高通、带通、 带阻滤波器均可以利用变量变换方法,分别由低通滤波器变换得到。 所以要先根据要求选定模拟低通滤波器的设计方法。 模拟低通滤波器有巴特沃兹(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)和椭圆(Elliptic)滤波器等。 ,2. 由模
8、拟滤波器完成IIR数字滤波器设计 利用模拟滤波器来完成数字滤波器的设计, 就是先确定模拟滤波器的Ha(s)进而确定数字滤波器的系统函数H(z)。 它实际上是由S平面到Z平面间的一种映射转换,此时必须满足两种基本要求: (1)H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应,即S平面的虚轴必须映射到Z平面的单位圆上。,(2) 因果稳定的模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z),仍是因果稳定的。也就是S平面左半平面(Res0)应该映射到Z平面的单位圆以内(|z|1)。 将系统函数Ha(s)从S平面映射到Z平面可以有多种方法, 工程上常用的是冲激响应不变法(或叫脉冲响应不变法)和双线性变换法, 下
9、面我们对这两种方法略作介绍。,1) 冲激响应不变法 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位采样响应序列h(n)模仿模拟滤波器冲激响应ha(t)。将模拟滤波器的冲激响应加以等间隔(间隔为T)采样,并使h(n)正好等于ha(t)的采样值, 即满足,(6-27),因此冲激响应不变法是一种时域上的转换方法。,下面我们分析采用冲激响应不变法时,S平面和Z平面之间的映射关系。若令Hz(s)是ha(t)的拉普拉斯变换,H(z)为h(n)的变换,则利用已知的序列的变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系, 可得,(6-28),上式表明,冲激响应不变法相当于将Ha(s)沿虚轴按周期(2)/T延拓后,再按映射关系,(6-2
10、9),将模拟滤波器的Ha(s)从S平面变换成Z平面的数字滤波器H(z)。若令s=+j,z=rej,代入式(6-29)得到rej=eTejT, 则有,(6-30a),(6-30b),上式表明,若=0,则r=1,即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上;若0,则r1,即S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。因此,冲激响应不变法可以满足将因果、稳定的Ha(s)转换成因果、稳定的H(z)以及H(ej)能模仿Ha(j)的基本要求。,将式(6-28)示于图6.5,S平面上每一条宽度为2/T的横向条带区都将重叠地映射到整个Z平面上,而第一条横向条带的左半边映射到Z平面单位圆内,右半边映射到Z平面的单位圆外,S
11、平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。当模拟频率从-/T变化到/T 时,数字频率则从-变化到,且由式(6-30b)可知,与之间成线性关系。由于S平面每一横条都要重叠地映射到Z平面上,这也反映了H(z)和Ha(s)的周期延拓之间有z=esT的变换关系,因此冲激响应不变法并不等于从S平面到Z平面间的简单代数映射关系。,图6.5 冲激响应不变法的映射关系,由式(6-28)可知,数字滤波器的频率响应H(ej)与模拟滤波器的频率响应Ha(j)的关系为,(6-31),这就是说,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。因此正如采样定理所讨论的,只有当模拟滤波器的频率响应带限于二分之一的模拟采样角频率
12、之内时,即,(6-32),才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真, 即,|,(6-33),如果Ha(j)不是带限于/T之内,则H(ej)会在的奇数倍附近产生频谱混叠,如图6.6所示。但是,任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格带限的,因此用冲激响应不变法变换后就会产生因周期延拓造成的频谱交叠,即产生频率响应的混叠失真。严重时可能会导致数字滤波器无法满足给定的技术指标。为此,常希望设计的滤波器是带限滤波器, 或要求模拟滤波器的频率响应在/T以上的衰减很大、很快, 变换后频率响应的混叠失真就比较小。,图6.6 冲激响应不变法的频谱混叠现象,从式(6-3
13、1)可知,采样时间间隔T减小时,系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远,因而就有可能减小频率响应的混叠效应。但是,当滤波器的指标是用数字角频率给定时,由式(6-30b)可以看到,和T有同样倍数的变化。如设计一截止频率为c的低通滤波器,则要求相应模拟滤波器的截止频率为c=c/T,T减小时,只有让c同倍增大,才能保证给定的c不变。因此T减小,虽然可以使带域-/T, /T加宽, 但c同倍数加宽,所以若在带域-/T, /T之外有非零的Ha(j)值,即c/T,则不论如何减小T,c与T总是成同样倍数变化,即总是c/T。 因此在冲激响应不变法设计中, 用减小采样间隔T的方法并不能真正解决混叠问题。,由于冲激
14、响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)以拉普拉斯反变换得到其冲激响应ha(t),然后采样得到h(n)=ha(nT),再取变换得H(z),因此过程较复杂。对于常用的部分分式表达的模拟系统函数,下面我们来讨论冲激响应不变法所造成的S平面和Z平面的对应关系。,设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点,且假定分母的阶次大于分子的阶次(一般都满足这一要求,因为只有这样才相当于一个稳定的模拟系统)。此时可将Ha(s)展开成部分分式表示式, 即有,(6-34),其拉普拉斯反变换, 即相应的冲激响应,(6-35),式中的u(t)是连续时间的单位阶跃函数。在冲激响应不变法中, 要求数字滤波器的单位采样响应等于
15、ha(t)的采样,即,(6-36),对h(n)求Z变换,即可得数字滤波器的系统函数,(6-37),将式(6-34)的Ha(s)和式(6-37)的H(z)作比较,不难看出: (1)S平面的单极点(s=sk)变换到Z平面上就是处的单极点。 (2)Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的,都是Ak。 (3) 如果模拟滤波器是稳定的,即所有极点sk位于S平面的左半平面,极点的实部Resk0,则, 那么变换后的数字滤波器的全部极点均在单位圆内,因此数字滤波器也是稳定的。,(4) 虽然S平面的极点按照关系式可映射成Z平面的极点,但是必须认识到,冲激响应不变法并不相当于按照该关系将S平面映射成Z平面。尤
16、其是数字滤波器的零点, 它们是随部分分式展开式中的极点和系数Ak一起变化的。 根据以上分析,对于部分分式表达的模拟系统函数,冲激响应不变法的设计步骤可不再经历Ha(s)ha(t)ha(nT)H(z)的过程,而是直接将Ha(s)写成许多单极点的部分分式之和的形式,然后将各个部分分式用式(6-37)的关系进行替代,从而得到所需的数字滤波器系统函数H(z)。,在式(6-33)中,数字滤波器频率响应H(ej)的幅度特性与采样间隔T成反比,当T较小时,H(ej)就会有很高的增益。 为避免这一现象,常作以下修正,即令h(n)=Tha(nT),于是它的幅度特性将不再与T成反比。此时的,|,(6-38),冲激
17、响应不变法使得数字滤波器的单位采样响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应,也就是时域逼近良好,而且模拟角频率和数字角频率之间呈线性关系,即=T。 因而一个线性相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 但是,因为此时有频率响应混叠效应,所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器,高通和带阻滤波器则不宜采用冲激响应不变法。 对于带通和低通滤波器, 需充分限带, 阻带衰减越大, 混叠效应就越小。,2) 双线性变换法 由于从S平面到Z平面的映射关系z=esT是多值映射,会使冲激响应不变法产生频谱混叠。为了克服多值映射这一缺点, 我们首先把整个S平面压缩变换到一个中介的S1平面中的 横向带条内,其
18、次再通过变换关系式将该横带变换到整个Z平面,这样就使得S平面与Z平面之间具有一一对应的关系,避免了多值映射。该过程如图6.7所示。,图6.7 双线性变换法的映射关系,将S平面整个j虚轴压缩变换到S1平面j1虚轴上的段,通常采用式(6-39)所示的变换关系, 即,(6-39),当1从经过0变化到时,其对应的由-经过0再到,式(6-39)可写成,令j=s,j1=s1, 可得,(6-40),再将S1平面用下面的关系式映射到Z平面,(6-41),以式(6-41)代入式(6-40)就可得到S平面和Z平面的单值映射关系为,(6-42a),及,(6-42b),这种S平面和Z平面之间直接的单值映射,通常也称作
19、双线性变换。由于从S平面到S1平面进行了非线性频率压缩,因此避免了频率混叠现象。,将z=ej代入式(6-42a),可得,(6-43),即S平面的虚轴与Z平面的单位圆相对应。 将s=+j代入式(6-42b),得,因此,(6-44),由上式可以看出,当0时,|z|1; 当=0时,|z|=1。也就是说,S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外,S平面的虚轴映射成Z平面的单位圆。因此,稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也是稳定的。双线性变换法满足前面介绍的以模拟滤波器到数字滤波器转换的基本条件。 同时双线性变换还克服了采用冲激响应不变法遇到的混叠问题,
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