16-17版专题限时集训13圆锥曲线中的综合问题(酌情自选).docx

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1、专题限时集训 (十三 )圆锥曲线中的综合问题 建议用时： 45 分钟 x2y231(2016 哈尔滨一模 )已知椭圆 C：a2b2 1(a b 0)的离心率为2，右顶点 A(2,0)(1)求椭圆 C 的方程；3(2)过点 M 2，0 的直线 l 交椭圆于 B，D 两点，设直线AB 的斜率为 k1，直线 AD 的斜率为 k2，求证： k1k2 为定值，并求此定值a2 b2c2，a 2，c3，所以 C 的方程为 x2解 (1)由题意得解得 b 1， y2a24c3，a2， 1.4 分3(2)证明：由题意知直线 l 的斜率不为 0，可设直线 l 的方程为 x my2，与2x4 y2 1 联立得 (m

2、24)y23my740，6 分由 0，设 B(x1， y1)， D(x2，y2)，7 3m4则 y1y2m24，y1y2m24，8 分1 2 y1y2y1y2y1y2k kx12 x22112121 211 y2 1my2 my2m y y2m y47477 23 2 124，4m2m 4 m 4k1k2 为定值，定值为7.12 分41x2y2122，以原点2(2016 衡水二模 )已知椭圆 C： a b 1(a b0)的离心率为2为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x 5y12 0 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A( 4,0)，过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交

3、椭圆 C 于 P，Q 两点，16连接 AP，AQ 分别交直线 x 3 于 M，N两点，若直线 MR，NR 的斜率分别为k1， k2 ，试问： k1k2 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【导学号： 85952057】c1a2，解 (1)由题意得12 b，75222a b c ，a4，x2y2b2 3， 故椭圆 C 的方程为 16 121.4 分c2，x2y2(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 PQ 的方程为 x my3，由 16 121，xmy3， (3m24)y2 18my21 0，18m 21 y1 y2 3m24，y1y2 3m24.6 分由 A， P，

4、M 三点共线可知yMy128y1分1614， yM3 x14 .83 4x28y2yMyN9yM yN16y1y2同理可得 yN3 x24， k1k2161649 x14x24 .10分3 33 3 (x1 4)(x2 4) (my1 7)(my2 7) m2y1y2 7m(y1 y2) 49， k1k2 16y1y2m2 y1y27m y1y2 4912 7.12分212k1k2 为定值 7 .x2y23(2016 原一模太 )已知椭圆 M：a2 3 1(a0)的一个焦点为 F(1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点(1)求椭圆方程；(2)

5、当直线 l 的倾斜角为 45时，求线段 CD 的长；(3)记 ABD 与 ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求 |S1S2|的最大值解 (1)因为 F(1,0)为椭圆的焦点，所以 c 1，又 b2 3，2x2y2所以 a4，所以椭圆方程为431.3 分(2)因为直线的倾斜角为 45，所以直线的斜率为1，x2y2所以直线方程为 yx1，和椭圆方程联立得到43 1，消掉 y，得到yx1，7x2 8x 8 0， 4 分所以288，x1 x2 8，x128， 5 分7x7所以 |CD|1k2 1x2 1 x224x1 224 分|x|2xx7 .6(3)当直线 l 斜率不存在时，直线方程为x 1，

6、此时D1，3，C1，3，ABD，ABC面积相等， 12 ，|SS22|0 7分当直线 l 斜率存在 (显然 k0)时，设直线方程为yk(x1)(k0) 设 C(x1，y1)，D(x2， y2)，x2y2和椭圆方程联立得到431，消掉 y 得 (34k2 )x2 8k2x4k212yk x1 ，0，8 分22显然0，方程有根，且 x1x28k2，x124k122，9分34kx3 4k此时 |S1S2|2|y1| |y2| 2|y1y2| 2|k(x21)k(x1 1)|32|k(x2x1)12|k|23121212 3(k 3时等2k|34k4|k|234|k|2 122|k|k|号成立 )，所

7、以 |S1S2|的最大值为3.12 分34(2016 开封二模 )已知中心在原点O，焦点在 x 轴上，离心率为2 的椭圆2过点2，2 .图 15-4(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P， Q 两点，满足直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的取值范围解 (1)由题意可设椭圆方程为x2y2a2b2 1(ab 0)，c32 1则a 2 (其中 c2 a2b2，c0)，且 a22b21，故 a2，b1.x22所以椭圆的方程为 4 y1.4分(2)由题意可知， 直线 l 的斜率存在且不为0.故可设直线 l ：ykxm(m0)，设 P(x1，

8、y1)，Q(x2，y2)，y kxm，由消去 y 得(1 4k2)x2 8kmx4(m21)0，5 分x2 4y2 4，2222 1)16(4k221)0，则 64k m 16(14k)(m m且 x1x28km2，x12 1分24 m2.614kx14k故 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2， 7 分因为直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，4所以y1 y2k2x1x2 km x1 x2 m22x1 x2k ，x1 x222即8k m 2 m20.8 分1 4k211分又 m 0，所以 k ，即 k 42.9由于直线 OP， OQ 的斜率存在，且0，得 0m2 2，且 m21.设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 d |2m|，10 分 5|PQ|2 x1 x2 2 4x1 2 2，11 分1kx 5 2m1m22 m2m22m2所以 S2|PQ|d21(m21)，故 OPQ 面积的取值范围为 (0,1).12 分5