浅析初中数学思想与方法.doc
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1、浅析初中数学思想与方法数学思想方法是对数学知识的本质理解,是从某些具体的数学内容和对数学的理解过程中提炼上升的数学观点,他在理解活动中被反复使用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学地提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中,所采用的各种方式、手段、途径等。初中数学教材中体现出的基本数学思想、数学方法是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,只有充分掌握领会,才能用效地应用知识,形成水平。那么,什么是数学思想呢?数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生结果,是对数学事实与理论的本质理解。在初中数学的学习中,要求
2、了解的数学思想主要有:方程函数的思想、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、整体代换的思想、类比的思想、用字母表示数的思想、特殊与一般化思想、同类合并思想等。一、用字母表示数的思想,这是基本的数学思想之一,在七年级的“整式加减“一章,列代数式及代数式的意义中,主要体现了这种思想。例如: 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)(2)甲数的与乙数的差:a-b 二、数形结合的思想“数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决很多数学问题的有效思想。数形结合思想指将数量与图形结合起来,对题目中的给定的题设和结论既实行代数方面的分析,又从几何含义
3、方面实行分析,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相结合,也以使图形的性质通过数量之间的计算与分析,达到更加完整、严密和准确。在解决数学问题的过程时要善于由形思数,由数思形,数形结合,通过数量与图形的转化,把数的问题利用图形直观的表示出来,力图找到解题思路。数学教材中下列内容体现了这种思想。 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。 3、函数式与图像之间的关系。 4、线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。 5、解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决几何问题。6、“圆”这个章中,圆的定义,点与圆
4、、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。三、转化思想 在整个初中数学中,转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,即把“新知识”转化为“旧知识”、把“未知”转化为“已知”、把“复杂”转化为“简单”、把“陌生”转化为“熟悉”、把“抽象”转化为“具体”、把“一般”转化为“特殊”、把“高次”转化为“低次”、把“一个综合问题”转化为“几个基本问题”、把“顺向思维”转
5、化为“逆向思维”等。例如:在一个多边形中,它的内角最多有几个角是锐角?分析:因为任何一个多边形的内角同与其相邻的外角的和是180,所以,若内角为锐角,则其外角必为钝角,就将该问题转化为:求多边形的外角中最多有几个钝角?解:因为多边形的外角和为360,所以多边形的外角中最多有三个钝角,所以,一个多边形中,它的内角最多有三个角是锐角。转化思想是数学的基本思想方法之一,在很多地方都用到了这种思想: 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元一次方程、一元二次方程求解,这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解,体现了转化思想。 2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转
6、化为数学问题。 3、“圆”这个章中,证明圆周角定理进所做的分析:证明弦切角定理的思路:求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。 四、分类思想就是要针对数学对象的共性与差异性,将其区分为不同种类,从而克服思维的片面性,有效的考察学生思维的全面性与严密性。要作到成功分类,需注意两点:一是要有分类意识,善于从问题的情景中抓住分类对象;二是找出科学合理的分类标准,不重不漏。分类讨论思想的优点是具有明显的逻辑性,能很好地训练一个人思维的条理性和概括性。如八年级上的三角形中常有这样的题:已知等腰三角形的周长是16,其中一条边的
7、长为6,求另外两条边的长。解:当腰长为6时,则另一条腰为6,底边为16-6-6=4,故另外两条边的长分别为6、4。当底边为6时,则腰长为(16-6)2=5,故另外两条边的长分别为5、5。有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论来解决的。五、特殊与一般化思想 1、“整式乘除”这一章,首先由特殊数的运算特例中,抽象概括出幂的一般运算性质。例:103 103 =(101010)(1010)=10101010=105 =103 + 2 ,a3 a3 =a3 + 2 ,am an am + n ;
8、乘法公式的推导则是采用一般到特殊的推导过程。2、用字母表示数,体现了由特殊到一般的思想,而求代数式的值则体现了由一般到特殊的思想。 六、类比思想 1、教学不等式的性质,一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质,一无一次方和的解法等做类比。 2 通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实数的相反数、绝对值、运算律等知识。 3 在二次根式加减的运算中,指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似。因此,二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 4 “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平分线”,可与线段的相关知识进行类比;度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比。 5 相似多边形的性质和相似三
9、角形的性质类比。6、分式的运算可与分数的运算类比。 七、数式通性 用数的运算所具有的性质,去控索式的同类运算是否也具有这样的性质,如具有,叫数式通性,整式的乘除这一章中,是由数的性质推知式的性质的;由数的加减推知式的加减的。 八、同类合并思想这一思想在“整式的加减”这一章中的具体体现是合并同类项。“根式”这一章中的合并同类根式。 九、函数与方程思想:所谓方程思想,就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把已知量与未知量之间的关系转化为方程(组)模型,从而使问题得到解决的思维方法,方程知识是初中数学的核心内容,理解方程思想并应用于解题当中十分重要,在一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程
10、组中,解应用题是方程思想的具体运用,同时,在几何问题中,也常用方程思想来解决问题。方程的思想实现了由小学的算术法向初中代数法的转化,这是数学思想的一个实质性飞跃。如:一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数。 当几何中的证明题和计算题所求的未知量不易直接求出时,可根据题目所给的条件,结合图形,联想到有关定理,选择便于把条件结论、图形和定理、定义结合起来的未知量设为x,从多角度寻求等量关系(图形的位置与定理的关系,已知条件与定理的关系等等)建立方程式或方程组,通过解方程,使问题得以解决。 十、整体思想研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是有意识放大考察问题的视角,
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