【知识梳理与训练】第九章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系.docx
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1、22 22 22 2 22第 4 节直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系; 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问 题;3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆 C:(xa) (yb) r ,直线 l:AxByC0,圆心 C(a,b)到直线 l 的(xa) (yb) r 距离为 d,由AxByC02,消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程,其判别式为.位置关系相交相切相离方法几何法dr代数法0002.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为 R,r
2、,Rr,圆心距为 d,则两圆的位置关系可用下表来 表示:位置关系几何特征相离 dRr外切 dRr相交 RrdRr内切 dRr内含 dRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解 无实数解公切线条数4 321 0微点提醒圆的切线方程常用结论(1)过圆 x y r 上一点 P(x ,y )的圆的切线方程为 x xy yr .0 0 0 022 222222222 2 22 22 222222222 22 2(2)过圆(xa) (yb) r 上一点 P(x ,y )的圆的切线方程为(x a)(xa)(y0 0 0 0b)(yb)r .(3)过圆 xyr外一点 M(x ,y )作圆的两条切线,则
3、两切点所在直线方程为 0 0x xy yr .0 0基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 xy1 相交”的必要不充分条件.( )(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )(3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )(4) 过圆 O:x y r 外一点 P(x ,y )作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则0 0O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x xy yr0 02.( )解析(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x y 1 相交”的充分不必要条件;(2)除外切外,还有可能
4、内切; (3)两圆还可能内切或内含.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 2P132A5 改编) 直线 l:3xy60 与圆 x y 2x4y0 相交于 A,B 两点,则|AB|_.解析由 xy2x4y0 得(x1)(y2)25,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径 r 5.又圆心(1,2)到直线 3xy6 0 的距离为 d|326| 9110 ,|AB|由 r 2d2,得|AB|10,即|AB| 10.答案103.(必修 2P133A9 改编)圆 x y 40 与圆 x y 4x4y120 的公共弦长为 _.2 22 22 22 22 22 22 23 3232222解析x2y240,由x
5、 y 4x4y120,得两圆公共弦所在直线方程 xy20.又圆2x y 4 的圆心到直线 xy20 的距离为 2.由勾股定理得弦长的一半2为答案42 2,所以,所求弦长为 2 2. 2 24.(2019 大连双基测试)已知直线 ymx 与圆 x y 4x20 相切,则 m 值为 ( )A. 3B.33C.32D.1解析由 x y 4x20 得圆的标准方程为(x2) y 2,所以该圆的圆心坐标为(2,0),半径 r 2,又直线 ymx 与圆 x y 4x20 相切,则圆心到直线的距离 d|2m | 2,解得 m1.m21答案D5.(2019 西安八校联考)若过点 A(3,0)的直线 l 与曲线(
6、x1) y 1 有公共点, 则直线 l 斜率的取值范围为( )A.( 3, 3)3 3C.( , )B. 3, 3 3 3 D. , 3 3 解析数形结合可知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 yk(x3),则圆心(1 , 0) 与直线 y k( x 3) 的距离应小于等于半径 1 ,即|2k|1k1,解得333k .答案D6.(2019 太原模拟)若圆 C :x1y1 与圆 C :x 2y6x8ym0 外切,则 m222 22 2223 33 32 22 22 22 2( )A.21 B.19 C.9 D.11解析圆 C 的圆心为 C (0,0),半径 r 1,因为圆 C 的方程可
7、化为(x3) (y 1 1 1 2 4) 25 m ,所以圆 C 的圆心为 C (3, 4) ,半径 r 2 2 225m (m25). 从而|C C | 1 29.答案C3 4 5.由两圆外切得|C C |r r ,即 11 2 1 225m5,解得 m考点一直线与圆的位置关系【例 1】 (1)已知点 M(a,b)在圆 O:x y 1 外,则直线 axby1 与圆 O 的 位置关系是( )A.相切C.相离(2)(2019 湖南六校联考 )已知O:xyB.相交D.不确定1,点 A(0,2),B(a,2) ,从点 A 观察点 B,要使视线不被O 挡住,则实数 a 的取值范围是( ) A.(,2)
8、(2,)4 3 4 3B.(, )( ,)3 32 3 2 3C.(, )( ,)4 3 4 3D.( , )解析(1)因为 M(a,b)在圆 O:x y 1 外,所以 a b 1,而圆心 O 到直线axby1 的距离 d|a0b 01|11,故直线与圆 O 相交.a ba b(2)易知点 B 在直线 y2 上,过点 A(0,2)作圆的切线. 设切线的斜率为 k,则切线方程为 ykx2,即 kxy20.2333 3222 2222222222由 d|002|1,得 k 3.1k4 3 4 3切线方程为 y 3x2,和直线 y2 的交点坐标分别为( ,2),( , 2).4 3 4 3故要使视线
9、不被O 挡住,则实数 a 的取值范围是(, )( ,).答案(1)B (2)B规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1) 几何法:利用 d 与 r 的关系.(2) 代数法:联立方程之后利用 判断.(3) 点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交 .上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【训练 1】(1)“a3”是“直线 yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切”的( )A.充分不必要条件 C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)圆 x y 2x4y0 与直线 2txy22t0(tR )的位置关系为( )A.相离C.相交
10、B.相切D.以上都有可能解析(1)若直线 yx4 与圆(xa) (y3) 8 相切,则有|a34| 22 2,即|a1|4,所以 a 3 或5.但当 a3 时,直线 yx4 与圆 (xa) (y3) 8一定相切,故“a3”是“直线 yx4 与圆 (xa) 不必要条件.(2)直线 2txy22t0 恒过点(1,2),1 (2) 214(2)50,(y3)8 相切 ”的充分点(1,2)在圆 xy22x4y0 内,2 22 222222 222222222 2直线 2txy22t0 与圆 x y 2x4y0 相交.答案(1)A (2)C考点二角度 1圆的切线、弦长问题圆的弦长问题多维探究【例 21】
11、(2018 全国卷)直线 yx1 与圆 x y 2y30 交于 A,B 两点, 则|AB|_.解析由题意知圆的方程为 x (y1) 4 ,所以圆心坐标为 (0 , 1),半径为2,则圆心到直线 yx1 的距离 d|11|2 2,所以|AB|2 2 ( 2) 2 2.答案角度 22 2圆的切线问题【例 22】过点 P(1,2)作圆 C:(x1) y 1 的两条切线,切点分别为 A, B,则 AB 所在直线的方程为( )A.y34B.y12C.y32D.y14解析圆(x1)y1 的圆心为 C(1,0),半径为 1,以 |PC | (11) (20) 2 为直径的圆的方程为 (x 1) (y 1)
12、1,1将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10,即 y .答案B角度 3与弦长有关的最值和范围问题【例 23】(2018 全国 卷)直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点, 点 P 在圆(x2) y 2 上,则ABP 面积的取值范围是( )A.2,6 B.4,822 22 2222 22 222C. 2,3 2 D.2 2,3 2解析圆心 (2, 0) 到直线的距离 d |202| 2 2 2,所以点 P 到直线的距离d 2,3 2. 根据直线的方程可知 A,B 两点的坐标分别为 ( 2 , 0),(0 , 112),所以 |AB|2 2,所以ABP 的面积 S
13、|AB|d 2d .因为 d 2,3 2,1 1 1所以 S2,6,即ABP 面积的取值范围是2,6.答案A规律方法1.弦长的两种求法(1) 代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程 . 在 判别式 0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2) 几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l2 r d .2.过圆外一点(x ,y )的圆的切线方程的求法:当斜率存在时,设为 k,则切线方0 0程为 yy k(xx ),即 kxyy kx 0,由圆心到直线的距离等于半径,即 0 0 0 0可得出切线方程;当斜率不存在时,要加以验证.【训练 2】 (1
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